Upwind residual discretization of enhanced Boussinesq equations for wave propagation over complex bathymetries

In this paper we consider the solution of the enhanced Boussinesq equations of Madsen and Sørensen (Coast.Eng. 18, 1992) by means of residual based discretizations. In particular, we investigate the applicability of upwind and stabilized variants of the Residual Distribution and Galerkin finite element schemes for the simulation of wave propagation and transformation over complex bathymetries. These techniques have been successfully applied to the solution of the nonlinear Shallow Water equations (Ricchiuto and Bollerman J.Comput.Phys 228, 2009 Hauke CMAME 163, 1998). The work discussed in this paper constitutes a first step toward the obtention of a model coupling the enhanced Boussinesq equations with the Shallow Water equations in wave breaking regions. The contribution of the present work is to show that equal order and even low order (second) upwind/stabilized techniques can be used to model non-hydrostatic wave propagation over complex bathymetries. This result is supported by theoretical (truncation and dispersion) error analyses, and by a thorough numerical validation. Key-words: Boussinesq equations, residual schemes, finite elements, upwinding, unstructured grids, wave propagation ∗ Inria Bordeaux Sud-Ouest, Team BACCHUS ha l-0 08 26 91 2, v er si on 1 7 Ju n 20 13 Upwind Residual discretization of enhanced Boussinesq equations for wave propagation over complex bathymetries Résumé : Dans ce travail on considère la resolution des equations de Boussinesq proposées par Madsen et Sørensen (Coast.Eng. 18, 1992) avec de mthodes "residual based". On étudie en particulier la possibilité d’utiliser des formulation décentrées de méthodes de type "continuous Galerkin" et "Residual Distribution" pour la simulation de la propagation et transformation de vagues sur bathymetries complexes. Ces méthodologies on étés utilisées avec succès pour la résolution des équations Shallow Water (Ricchiuto and Bollerman J.Comput.Phys 228, 2009 Hauke CMAME 163, 1998). Ce travail constitue un premier pas dans l’obtention d’un modèle complet qui couple les équations de Boussinesq pour la propagation des vagues avec les équations Shallow Water dans la région de déferlement. La contribution de cet article est de montrer que meme avec des interpolation surface libre/vitesse d’ordre deux des techniques type éléments finis upwind peuvent etre utilisées pour des modèles non-hydrostatiques de type Boussinesq. Ce résultat est confirmé par des analyses d’erreur et par des nombreux études numériques. Mots-clés : Modèles de Boussinesq, schémas residual based, éléments finis, upwinding, maillages non-structurés, propagation de vagues ha l-0 08 26 91 2, v er si on 1 7 Ju n 20 13 Residual based approximation of Boussinesq equations 3